Просто о математическом ожидании

Математическое ожидание (Expected Value, EV) – это одно из самых основных понятий в теории вероятности покерных игр. Математическое ожидание в покере используется для усредненной оценки наступления некоторого случайного события.

Предположим, что по ходу игры возможно n различных исходов наступления некоторого события, вероятность наступления каждого из них в отдельности равна pi. Тогда можно посчитать математическое ожидание (ожидаемую выгоду) величины x, которая принимает значения xi для каждого конкретного случая по формуле:

E(x) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn

Если же вероятности наступления событий одинаковы (т.е. p1 = p2 = pn = 1/n) формула принимает вид среднего арифметического:

E(x) = x1/n+ x2/n + ... + xn/n = (x1 + x2 + ... + xn) / n

При помощи математического ожидания в покере можно прогнозировать тенденции и результат значения некоторого случайного признака при достаточно долгом периоде испытаний (например, прибыльность вашего колла на дистанции, или прибыльность вашей игры). Это справедливо, поскольку среднее значение любой случайной величины при довольно большом количестве испытаний будет стремиться к своему математическому ожиданию.

Простой пример расчета EV (математического ожидания) в покере

Допустим, вы играете в турниры Sit-n-Go за полными столами (Full ring) на лимите $10+$1. По регламенту данных турниров в призы попадает 3 человека. В данном случае возможны 9 различных итоговых вариантов. Вы открыли свою статистику и посмотрели, что за последние 1000 сыгранных турниров вы занимали:

• Девятое место 50 раз (5%);
• Восьмое место 50 раз (5%);
• Седьмое место 100 раз (10%);
• Шестое место 150 раз (15%);
• Пятое место 150 раз (15%);
• Четвертое место 200 раз (20%);
• Третье место 100 раз (10%);
• Второе место 100 раз (10%);
• Первое место 100 раз (10%).

Ожидаемые результаты от игры:

Если вы занимаете место в промежутке от 9-го до 4-ого, ваше ожидание от игры будет отрицательным и составит (-$11) (вы не попадаете в призовую зону и теряете все средства, внесенные за участие в турнире);

• Ожидание от третьего места +$18;
• Ожидание от второго +$27;
• Ожидание от первого +$45.

Для каждого турнира у игрока с такой статистикой математическое ожидание в среднем:

0,05*(-11) + 0,05*(-11) + 0,1*(-11) + 0,15*(-11) + 0,15*(-11) + 0,2*(-11) + 0,1*18 + 0,1*27 + 0,1*45 = 0,7(-11) + 0,1*18 + 0,1*27 + 0,1*45 = -7,7 + 1,8 + 2,7 + 4,5 = 1,3$

Таким образом, если вы не будете работать над своей игрой и уровень игры оппонентов будет оставаться на прежнем уровне, вы будете зарабатывать за каждый турнир $1,3. Возможны отклонения за счет даунстриков и апстриков, но на дистанции в 1000 турниров ваша ожидаемая прибыль составит $1300.