Рациональный банкролл-менеджмент. Часть 2.1

Рациональный банкролл-менеджмент. Часть 2.1

Перевод данной статьи был осуществлен при поддержке покер рума William Hill Poker. William Hill Покер регулярно проводит эксклюзивные турниры для своих игроков, обеспечивает поддержку пользователей 24/7, гарантирует сохранность ваших средств, а также быстрые и удобные кешауты.

1. Введение

Данная статья является второй в серии статей о банкролл-менеджмент (БРМ) в покере. В первой части мы дали определения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Для игры с n возможными исходами, каждому из которых ставится в соответствие вероятность p и значение x, можно записать следующие выражения для расчета математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения.

Математическое ожидание

Математическое ожидание - формула

Дисперсия

Формула дисперсии в покере

Среднеквадратическое отклонение

Формула среднеквадратического отклонения

Для исследования этих формул в Части 1 мы задали условия двух простых игр с кубиком, для которых математические ожидания выигрыша совпадали, а дисперсии различались. После чего рассчитали значения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для обеих игр.

Игра с кубиком 1

Ставка в игре равна $1.

  • При выпадении 1, 2, 3 и 4 ставка возвращается.
  • При выпадении 5 мы проигрываем ставку.
  • При выпадении 6 мы выигрываем две ставки.
  • Математическое ожидание выигрыша EV = 0.1667.
  • Дисперсия V = 0.8056.
  • Среднеквадратическое отклонение SD = 0.8975.

Игра с кубиком 2

Ставка в игре равна $1.

  • При выпадении 1, 2, 3, 4 и 5 мы проигрываем ставку.
  • При выпадении 6 мы выигрываем шесть ставок.
  • Математическое ожидание выигрыша EV = 0.1667.
  • Дисперсия V = 6.8056.
  • Среднеквадратическое отклонение SD = 2.6087.

Мы сделали это, чтобы показать каким образом определения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения можно использовать для анализа простых игр. Можно сказать, что мы научились вычислять эти значения в зависимости от условий и правил игры.

2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение в покере

Для реальных покерных игр провести расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения на основании одних лишь базовых формул практически невозможно, поскольку нам пришлось бы составить список всех возможных исходов, и каждому из них поставить в соответствие значения вероятностей и выигрыша.

Для реальных покерных игр расчет вероятности и выигрыша одного отдельного исхода уже представляется чрезвычайно сложной задачей. Но если бы мы с ней и справились, астрономическое количество возможных исходов в игре сделает расчет невыполнимым. Для примера, в хедз-ап (heads-up – игра один на один, прим. перев.) играх в лимитном Холдеме возможно около 10 ^ 18 исходов. А это одна из простейших покерных игр для теоретического анализа!

Описание полных стратегий игры для всех игроков, вычисление вероятностей и выигрышей для миллиардов исходов на практике представляется невозможным. Для упрощения задачи мы возьмем значения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения из программ PokerTracker или HoldemManager. В этих программах статистические оценки рассчитаны на основе анализа наших сыгранных рук, и мы можем считать их лучшими оценками.

Прежде чем перейти к анализу покерных игр, рассмотрим модель простейшей игры в покер. На ее основе покажем, как следует использовать определения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения в покерных играх.

3. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение для AKQ-игры с фиксированными ставками для двух улиц

Займемся расчетом математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для AKQ-игры с фиксированными ставками для двух улиц. Это простая игра, которую мы тщательно исследовали в серии статей «Modeling Poker» (Моделирование покерных игр).

3.1 Условия игры

AKQ-игра

  • В игру играют два игрока: Алиса (вне позиции) и Боб (в позиции).
  • В начале игры оба игрока ставят анте в n bb. Это формирует начальный пот P = 2n bb.
  • Оба игрока получают по одной случайной карты из AKQ-колоды.
  • Алиса чекает "втемную".
  • Теперь Боб может чекнуть и посмотреть шоудаун, а может и поставить 1 bb.
  • Если Боб ставит 1 bb, Алиса может сфолдить, а может заколлировать ставку Боба и посмотреть шоудаун.
  • После окончания раунда ставок, если никто из игроков не сфолдил, на шоудауне побеждает старшая карта.

Ниже приведен расчет статистических параметров в предположении, что оба игрока играют оптимальным образом.

3.2 Анализ AKQ-игры с фиксированными ставками для двух улиц

Алиса

  • С тузом всегда играет Чек/Колл.
  • С королем играет Чек/Колл в случаях (Р - 1) / (Р + 1), где P-размер пота.
  • С дамой всегда играет Чек/Фолд.

Боб

  • С тузом всегда ставит на велью.
  • С королем чекает в ответ на чек Алисы.
  • С дамой блефует в случаях 1 / (Р + 1 ), где P-размер пота.

Математическое ожидание выигрыша Боба:

ЕV= (1/6) (Р-1) / (Р + 1)

В этой статье мы рассмотрим только игру с  анте в 1 bb. Таким образом, до начала ставок пот P составляет 2 bb.

3.3 Расчет математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения для AKQ-игры

Для анализа AKQ-игры выберем схему исследования  двух игр с кубиком в Части 1. Сначала мы рассмотрим все возможные исходы, найдем соответствующие вероятности и значения выигрышей. После чего подставим эти значения в формулы для расчета математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения. Значения всех параметров будем рассчитывать для Боба.

Рациональный банкролл-менеджмент. Часть 2.1

После окончания этого этапа расчетов мы получим точные значения искомых статистических величин для простой покерной игры. Это послужит иллюстрацией применения математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения в покере. В реальном покере все обстоит значительно сложнее, однако основополагающие принципы не меняются.

Мы видим, что в игре возможно 6 различных сценариев:

  • Сценарий 1: У Алисы туз, у Боба король.
  • Сценарий 2: У Алисы туз, у Боба дама.
  • Сценарий 3: У Алисы король, у Боба туз.
  • Сценарий 4: У Алисы король, у Боба дама.
  • Сценарий 5: У Алисы дама, у Боба туз.
  • Сценарий 6: У Алисы дама, у Боба король.

Все сценарии равновероятны, поэтому вероятность каждого из них составляет 1/6. Остается вычислить значения выигрыша Боба для каждого сценария. Выше описано, как играют Алиса и Боб в каждом из возможных сценариев игры.

Для каждого сценария запишем выражения для математического ожидания и вычислим выигрыш или проигрыш Боба для каждого из них. Заметим, что мы приводим расчет математического ожидания для всей игры, а не только для раунда ставок.

Сценарий 1: у Алисы туз, у Боба король

EV1 = (1/6) {- 1}

Боб всегда чекает в ответ на чек Алисы, в результате чего он проигрывает анте. Результат игры: -1 bb.

Сценарий 2: у Алисы туз, у Боба дама

EV2
= (1/6) {(2/3) (- 1) + (1/3) (- 2)}
= (1/6) {- 4/3}

Боб с дамой чекает в 2/3 случаев и проигрывает 1 bb анте. В 1/3 случаев он блефует и кроме анте проигрывает ставку. Результат игры при этом составляет -2 bb.

Сценарий 3: у Алисы король, у Боба туз

EV3
= (1/6) {(1/3) (+ 2) + (2/3) (+ 1)}
= (1/6) {4/3}

Боб всегда ставит. Алиса коллирует его ставку в  1/3 случаев, после чего Боб выигрывает анте Алисы и ее ставку. Результат игры: +2 bb. В оставшихся 2/3 случаев Алиса фолдит, и Боб выигрывает ее анте, при этом результат игры: +1 bb.

Сценарий 4: у Алисы король, у Боба дама

EV4
= (1/6) {(2/3) (- 1) + (1/3) {(1/3) (- 2) + (2/3) (+ 1)}}
(1/6) {- 2/3 + (1/3) {0}}
= (1/6) {- 2/3}

В 2/3 случаев Боб чекает в ответ на чек Алисы и теряет анте. Результат игры: -1 bb. В 1/3 случаев он блефует. В 1/3 случаев Алиса коллирует, и Боб проигрывает анте и ставку. Результат игры:  – 2 bb. В оставшихся 2/3 случаев Алиса фолдит, и Боб выигрывает ее анте. Результат игры: +1 bb.

Сценарий 5: у Алисы дама, у Боба туз

EV5 = (1/6) {+ 1}

Боб всегда ставит, Алиса всегда фолдит. Боб выигрывает анте Алисы. Результат игры: +1 bb.

Сценарий 6: у Алисы дама, у Боба король

EV6 = (1/6) {+ 1}

Боб всегда чекает в ответ с королем и выигрывает анте Алисы. Результат игры: +1 bb.

Рациональный банкролл-менеджмент. Часть 2.1

В итоге мы получаем следующий список возможных исходов для AKQ-игры:

• Сценарий 1:  у Алисы туз, у Боба король.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: -1 ​​bb.

• Сценарий 2: у Алисы туз, у Боба дама.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: -4/3 bb.

• Сценарий 3: у Алисы король, у Боба туз.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: +4/3 bb.

• Сценарий 4: у Алисы король, у Боба дама.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: -2/3 bb.

• Сценарий 5: у Алисы дама, у Боба туз.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: +1 bb.

• Сценарий 6: у Алисы дама, у Боба король.
      - Вероятность: 1/6.
      - Результат Боба: +1 bb.

Подставим эти значения в формулы для вычисления математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения:

Расчет математического ожидания

Расчет EV

EV

= (1/6) {- 1} + (1/6) {- 4/3} + (1/6) {4/3}
+ (1/6) {- 2/3} + (1/6) {+ 1} + (1/6) {+ 1}
= (1/6) {- 1 -4/3 +4/3 -2/3 + 1 + 1}
= (1/6) {1/3}
= 1/18

В покере винрейт принято смотреть на 100 сыгранных рук. В соответствии с этим правилом математическое ожидание выигрыша составляет EV = 100/18 bb / 100 = 5,56 bb / 100.

Подставим значение математического ожидания в формулу для расчета дисперсии.

Расчет дисперсии

Формула дисперсии в покере

V
= (1/6) {- 1 - 1/18} ^ 2 + (1/6) {- 4/3 - 1/18} ^ 2
+ (1/6) {4/3 - 1/18} ^ 2 + (1/6) {- 2/3 - 1/18} ^ 2
+ (1/6) {1 - 1/18} ^ 2 + (1/6) {1 - 1/18} ^ 2
= 1,1636

Дисперсия нам нужна исключительно для расчета среднеквадратического отклонения, поскольку в статистическом анализ покерных игр обычно используется среднеквадратическое отклонение.

Расчет среднеквадратического отклонения

Формула среднеквадратического отклонения

SD = sqrt (1,1636) = 1,0787, где sqrt – операция квадратного корня.

Выразим в следующей формуле среднеквадратическое отклонение в единицах «bb/100»

Cреднеквадратическое отклонение в bb/100

Здесь n spill – число испытаний.

SD (100 рук) = sqrt (100) SD (1 рука) = 10 (1,0787) = 10,787

Перевод: Сергей 'ivolga' специально для pokeristby

Point Chase - эксклюзивная гонка для наших игроков в William Hill

Источник: Donkr.com

Комментарии (0)

Зарегистрируйтесь или , чтобы оставить комментарий