Рациональный банкролл-менеджмент. Часть 4

Перевод данной статьи был осуществлен при поддержке покер рума William Hill Poker. William Hill Покер регулярно проводит эксклюзивные турниры для своих игроков, обеспечивает поддержку пользователей 24/7, гарантирует сохранность ваших средств, а также быстрые и удобные кешауты.

1. Введение

Данная статья является четвертой в серии статей о банкролл-менеджменте (БРМ). В первой части  мы дали определения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения и рассчитали эти значения для двух простых игр с кубиком. Во второй части мы показали, как эти понятия могут быть применены к простой AKQ-игре в покер. В третьей части мы познакомились с формулой расчета риска разорения

Здесь

• R = риск разорения
• B = величина банкролла
• W = винрейт
• S = среднеквадратическое отклонение

Форма записи R (B) означает, что R является функцией от В. Часто говорят “R при данном В” или “R при известном В”.

При известных значениях винрейта и среднеквадратического отклонения (на практике достаточно знать их оценки) мы можем применить эту формулу для расчета вероятности потери стартового банкролла. При этом мы предполагаем, что все выигрыши идут в увеличение банкролла, а кэшауты полностью отсутствуют. При наличии кэшаутов нам пришлось бы скорректировать значение винрейта (кэшауты эквивалентны уменьшению винрейта).

Рассмотрим формулу риска разорения

Запишем выражения для расчета банкролла В

Последнее выражение можно представить в виде

Здесь B (R) означает, что В является функцией от аргумента R. Значения W и S считаем константами. Таким образом, размер банкролла фактически представляет собой функцию от единственного аргумента риска разорения R.

В Части 3 мы провели графический анализ этих формул на модельных играх. В Части 4 мы рассмотрим реальные покерные игры и рассчитаем значения стартового банкролла для NLHE 6-max и PLO 6-max (NLHE - No Limit Hold' Em, безлимитный Холдем, PLO - Pot Limut Omaha, пот-лимит Омаха, прим. перев.). Для получения оценок среднеквадратического отклонения для двух этих игр мы будем использовать базы данных программы HoldemManager. В итоге мы сможем рассчитать значения банкролла для различных комбинаций значений винрейта и толерантности к риску.

2. Отдельные замечания относительно банкролла для NLHE и PLO

Рассмотрим требования к банкроллу для каждой из этих двух игр.

2.1 NLHE

В настоящее время NLHE является самой популярной разновидностью покера в онлайне. И так было с самого начала расцвета онлайн-покера. В годы «золотого века» онлайн-покера (примерно 2003-2007 гг.) было легко играть в покер с высокими винрейтами. Типичной рекомендацией для бакролла было требование 30 БИ (БИ - бай-ин равен 100 bb, где bb – ставка большого блайнда). Отдельные игроки для перехода по лимитам использовали даже меньшие значения.

В наши дни в NLHE такая агрессивная схема банкролл-менеджмента, вероятно, малоэффективна. На всех лимитах побеждать становится все труднее (за исключением микролимитов типа NL2). Сейчас даже самые лучшие гриндеры имеют меньшие значения винрейта по сравнению с лучшими игроками пятилетней давности. Из анализа формулы B (R) мы видим, что значение банкролла фактически определяется отношением S ^ 2 / W. Например, уменьшение винрейта W вдвое ведет к удвоению размера банкролла при фиксированном значении риска разорения.

Таким образом, нынешние гриндеры в NLHE должны понимать, что существует определенный баланс между величиной банкролла и винрейтом. Когда меняются условия игры, надо пересматривать старые догмы. Возможно, в 2004 г. 30 бай-инов было достаточно, но в 2015 г. их уже явно будет мало. Однако, если игрок усиленно работает над своей игрой, он и в наши дни может играть с небольшим банкроллом. Таким направлением работы, в частности, является хороший выбор столов для игры (table select). Но даже в таком случае игрок сталкивается с другой проблемой – снижением числа сыгранных рук и уменьшением выигрыша за час игры. Серьезный гриндер для максимизации своего дохода должен ориентироваться на такой показатель, как выигрыш за час игры, а не на винрейт в bb/100.

Допустим, например, что наш гриндер очень тщательно выбирает столы для игры и имеет при этом винрейт 10 bb/100. В среднем он может сыграть около 400 рук в час. Его выигрыш за час определяется выражением 400 рук/час х 10 bb/100 = 40 bb/час. Если для игрока допустимым является снижение винрейта до 60% от этой величины (т.е. до 6 bb/100), он может сыграть за час около 800 рук и его выигрыш в час составит  800 рук/час х 6 bb/100 = 48 bb/час.

Для максимизации своего часового выигрыша игрок выбирает схему с бОльшим количеством рук и с меньшим винрейтом. Когда винрейт снижается с 10 bb/100 до 6 bb/100, величина банкролла увеличивается в 10/6 = 1,67 раз. Если с уменьшением винрейта значения среднеквадратического отклонения и желаемого уровня риска разорения не меняются, можно вывести следующие соотношения:

Значение банкролла для винрейта 10 bb/100

Значение банкролла для винрейта 6 bb/100

При снижении винрейта с 10 bb/100 до 6 bb/100 коэффициент роста банкролла составляет

Итак, если наш игрок хочет максимизировать свой выигрыш в час, то при 40%-ом снижении винрейта ему следует на 67% увеличить свой банкролл, чтобы обеспечить то же значение риска разорения. Рост величины банкролла определяется отношением большего винрейта к меньшему.

Заметим, что мы не занимались конкретным расчетом величины банкролла для NLHE (мы займемся этим позже). Мы лишь объяснили, почему в наши дни не надо следовать старым правилам банкролл-менеджмента. Для серьезного гринда в нынешних условиях банкролла в 30 бай-инов недостаточно, если игрок не готов согласиться с большей величиной риска разорения.

Для NLHE характерны свинги. Но в случае игры со слабыми оппонентами NLHE никак нельзя назвать  высокодисперсионной игрой. Рост требуемого размера банкролла обусловлен не структурой игры, а связан с увеличением сложности игры в наше время. В прежние годы невысокий размер банкролла являлся следствием невысокого среднего уровня игры.

Теперь поговорим о PLO. Что можно сказать о величине банкролла  по сравнению с NLHE?

2.2 PLO

В PLO дисперсия (а, следовательно, и среднеквадратическое отклонение) значительно выше по сравнению с NLHE. Это обусловлено особенностями игры - в начале игры вы получаете четыре карманные карты. Ценности карт оппонентов различаются уже не так сильно как в Холдеме, и вы часто должны играть на стек в ситуациях без большого преимущества.

Поскольку PLO менее популярна чем NLHE, стратегия для нее разработана не так подробно, как для NLHE. PLO является более сложной игрой, в нее труднее научиться играть. Это на руку хорошим игрокам, поскольку здесь они имеют большее преимущество по сравнению со слабыми игроками.

Размер необходимого банкролла увеличивается с ростом величины S^2/W. В PLO в этом выражении по сравнению с NLHE увеличиваются одновременно числитель (растет дисперсия) и знаменатель (более высокий винрейт). Таким образом, в PLO размер банкролла растет не столь стремительно.

PLO имеет репутацию «игры, съедающей банкроллы». Однако, солидный игрок в NLHE не должен опасаться перехода в PLO. Если он играл в NLHE с хорошей стратегией банкролл-менеджмента и умел справляться с даунсвингами, у него не будет проблем в PLO. Тем не менее, он должен сосредоточиться на увеличении своего винрейта. В противном случае даунсвинги могут нанести большой урон его банкроллу.

3. Оценка среднеквадратического отклонения для NLHE и PLO

Получим оценки и сравним значения среднеквадратического отклонения для NLHE 6-max и PLO 6-max, анализируя две базы данных с низких лимитов:

• База данных NL25-NL100 для 54 733 игроков NLHE.
• База данных PLO25-PLO100 для 52 567 игроков PLO.

Эти базы одолжил нам один анонимный игрок с низких лимитов. Выбор низких лимитов обусловлен тем, что большинство читателей играют именно на них. Следует отметить, что выводы, которые мы сделаем далее, будут уместны для всех лимитов без исключения.

Опишем последовательность наших действий.

• Оценка среднеквадратического отклонения для NLHE 6-max и PLO 6-max для игроков тайтово-агрессивного стиля. Необходимые значения получим при помощи фильтров.
• Обсуждение изменений размера банкролла при переходе из NLHE в PLO при одном и том же значении риска разорения.
• Оценка размера банкролла для различных комбинаций значений винрейта и риска разорения для игроков тайтово-агрессивного стиля.

3.1 Оценка среднеквадратического отклонения для тайтово-агрессивных игроков NLHE 6-max

Найдем оценку дисперсии (в виде показателя среднеквадратического отклонения) для NLHE. Она, естественно, зависит от стиля игры. Для нашего исследования мы будем рассматривать тайтово-агрессивный (TAG от tight-aggressive) стиль игры, для которого характерны следующие показатели

• VPIP = 20-25
• PFR = 15 +

Здесь VPIP – процент рук, в которых игрок добровольно вносит деньги в банк (ставки малого и большого блайндов не считаются добровольными)  и PFR – процент рук, в которых игрок рейзит на префлопе.

На низких лимитах TAG-стиль работает хорошо. Во-первых, нет необходимости блефовать – оппоненты и так проплатят вашим сильным рукам. Во-вторых, высокий рейк на низких лимитах при тайтовой игре приводит к меньшим потерям по сравнению с агрессивным стилем.

При помощи фильтра отберем игроков, сыгравших минимум 10 000 игр. Из 54 733 игроков в нашем списке остаются всего 90 человек. Отсортируем список по убыванию числа рук и выберем 10 игроков по списку сверху.

Фактические имена игроков мы заменили анонимными: NLHE-1, NLHE-2 и т.д. Несмотря на то, что мы не делали фильтрацию по винрейту, в рассматриваемой группе преобладают выигрывающие игроки. Это обусловлено тем, что мы отобрали игроков, играющих префлоп в солидном стиле и сыгравших большое число рук.

Средние статы (округленно) представлены ниже.

• VPIP = 22
• PFR = 17
• 3Bet = 7
• AF = 3.1
• Винрейт = 3.0 bb/100
• Среднеквадратическое отклонение = 81

Усредненные статы префлопа VPIP/PFR/3Bet = 22 / 17 / 7 с постфлоп агрессией AF>3 являются статами солидного TAG-стиля и типичны для регуляра низких лимитов NLHE.

Наша группа состоит из 8 выигрывающих и 2 проигрывающих игроков. Винрейт в группе меняется от -0.62 bb/100 до +6.11 bb/100. Среднее значение винрейта составляет 3 bb/100. Значения винрейтов для нас не очень интересны, поскольку для достаточно точных оценок надо отыграть значительное число рук. Займемся оценкой среднеквадратического отклонения для игроков этой группы. Затем рассчитаем величину необходимого банкролла как функцию от винрейта, используя при этом полученные оценки среднеквадратического отклонения.

Для грубой оценки возьмем средний винрейт этих игроков, риск разорения 1% и среднеквадратическое отклонение 81 bb/100. Значение банкролла в bb получим из выражения

Итак, при умеренном винрейте 3 bb/100 и риске разорения, не превышающем 1%, для игры требуется около 50 бай-инов.

3.1 Оценка среднеквадратического отклонения для тайтово-агрессивных игроков PLO 6-max

Мы применим ту же процедуру действий, и используем следующие фильтры: минимум 10 000 сыгранных рук, VPIP 20-25, PFR 15 и выше. В итоге получаем 80 игроков, отбираем 10 игроков с наибольшим числом сыгранных рук и получаем

• VPIP = 22
• PFR = 16
• 3Bet = 6
• AF = 3.5
• Винрейт = 0.45 bb/100
• Среднеквадратическое отклонение = 114

И снова усредненные статы префлопа VPIP/PFR/3Bet = 22 / 16 / 6 с постфлоп агрессией AF>3 являются статами солидного TAG-стиля. В группе 6 выигрывающих игроков и 4 проигрывающих. Винрейт в группе меняется от -14.79 bb/100 до +11.18 bb/100. Средний винрейт в группе имеет отрицательное значение.

Больший разброс значений винрейта по сравнению с NLHE объясняется увеличением дисперсии. При ограниченной выборке рук лучшие победители выигрывают больше, а худшие игроки проигрывают больше по сравнению с NLHE. Средний винрейт в группе составляет -0.45 bb/100. Делать выводы о величине винрейта после анализа группы из 10 игроков не следует.

Поскольку среднее значение винрейта отрицательно, нельзя говорить о размере необходимого банкролла (если вы все время проигрываете, не хватит никакого банкролла). Однако, мы можем рассчитать требования к банкроллу игрока в PLO со средним винрейтом, полученным  для группы игроков NLHE (3 bb/100), и при том же значении риска разорения (1%). После этого мы сравним размеры банкролла для двух игр при данной комбинации значений винрейта и риска разорения.

Итак, нам требуется около 100 бай-инов в PLO по сравнению с 50 бай-инами в NLHE (ниже мы покажем еще один вариант такого расчета).

Самым важным статистическим показателем, который мы получили из анализа данной базы данных, является среднеквадратическое отклонение 114 bb/100 для тайтово-агрессивного игрока в PLO 6-max. По сравнению с аналогичным значением 81 bb/100 для NLHE увеличение составляет 114/81=1.41 раз или 41%.

При одной и той же комбинации значений винрейта W и риска разорения R для PLO требуется вдвое больший размер банкролла по сравнению с NLHE. Это непосредственно следует из формулы риска разорения

Таким образом, чтобы играть в PLO с тем же банкроллом, как и в NLHE, наш TAG-игрок должен вдвое увеличить свой винрейт по сравнению с NLHE. Для некоторых игроков это не составляет большого труда (это мы обсудим ниже).

4. Размер банкролла как функция от винрейта

Для анализа размера банкролла как функции от винрейта мы не будем строить графики. Возьмем формулу расчета риска разорения в следующем виде

Это та же формула для расчета величины банкролла. Только теперь мы используем выражение B(W) для того, чтобы показать, что мы варьируем винрейт W, а значения среднеквадратического отклонения S и риска разорения R считаем константами. Мы используем оценки величины среднеквадратического отклонения, полученные при анализе нашей базы данных.

Для каждой игры приведем графики банкролла как функции от винрейта с областью изменения аргумента от 1 bb/100 до 20 bb/100 (в эту область попадают практически все возможные значения винрейта в 6-max играх) для трех различных значений риска разорения – 10%, 1% и 0.1%.

4.1 Размер банкролла как функция от винрейта для NLHE

Подставим в формулу значение среднеквадратического отклонения S = 81 bb/100. Ниже показаны графики зависимости величины банкролла как функции от винрейта для трех значений риска разорения

При помощи этих рисунков мы можем легко оценить величину необходимого банкролла для различных сочетаний винрейта и риска разорения. Например, мы начинаем растить банкролл с микролимитов. При винрейте 10 bb/100 и 10%-ом риске разорения мы должны иметь, как видно из первого графика, не менее 8-10 бай-инов. Точно также  как и Брайан Таунсенд на его пути к покорению высоких лимитов.

Применять агрессивный банкролл-менеджмент имеет смысл лишь хорошему игроку, которому надо быстро с нуля сформировать банкролл. В этом случае ему не надо использовать сверхосторожный банкролл в 100 бай-инов,  который замедлил бы его восхождение по лимитам. Наоборот, ему следует использовать небольшой банкролл с относительно высоким уровнем риска разорения. При этом он не страшится потери маленького банкролла. Таким образом, игрок быстро проходит простые для него лимиты. При достижении более высоких лимитов, на которых его винрейт снижается, ему следует соответственно скорректировать размер своего банкролла. Ему также следует уменьшить свою толерантность к риску по мере увеличения банкролла, поскольку  будет сложно восстановить свой банкролл после возможной потери.

Рассмотрим диаметрально противоположную ситуацию, когда наш игрок имеет умеренный винрейт 3 bb/100. При 0.1%-ом риске разорения для NLHE ему потребуется банкролл в размере около 80 бай-инов. Это типично для случая, когда игрок занимается исключительно мультитейблингом. Не стоит также забывать и о том, что профессиональный игрок должен для обеспечения своих текущих потребностей делать кэшауты. Мы помним, что кэшауты уменьшают эффективный винрейт, при этом размер требуемого банкролла возрастает.

Например, гриндер средних лимитов, играющий с умеренным винрейтом 3 bb/100, который кэшаутит 1/3 своих выигрышей, имеет эффективный винрейт 2 bb/100. Из анализа рисунков видим, что при 0.1%-ом риске разорения ему требуется около 110 бай-инов.

Данные рисунки позволяют сделать следующие выводы о банкролл-менеджменте для NLHE.

• Если вы много выигрываете на низких лимитах и не делаете кэшауты, имеет смысл быстро проходить лимиты с небольшим банкроллом. Например, для солидного игрока микролимитов в NLHE, имеющего винрейт 10 bb/100 (а это вполне реально для сильного игрока на микролимитах), 30 бай-инов будет вполне достаточно.
• Для рекреационных игроков с умеренным винрейтом (скажем, 4-5 bb/100) можно вполне безопасно играть с 50 бай-инами. Заметим, что при частых кэшаутах размер банкролла должен увеличиваться. Если вы играете очень сильно, и вашему банкроллу не страшна угроза потери, следует уменьшать толерантность к риску. В отличие от профессионального гриндера, для рекреационного игрока (для которого покер не является единственным средством к существованию) не составит труда перейти на лимит ниже или снова начать все с нуля.
• Для профессионального игрока (играющего, вероятно, на средних и высоких лимитах с умеренным винрейтом) лучшим выбором будет банкролл размером в 100 бай-инов. Если вы собираетесь кэшаутить и тратить значительную часть выигрыша, вам, вероятно, потребуется банкролл еще большего размера.

4.2 Размер банкролла как функция от винрейта для PLO

Выше мы уже обсуждали, что в PLO по сравнению с NLHE требуется вдвое больший банкролл (при тайтово-агрессивном стиле игры с теми же значениями винрейта и риска разорения). Таким образом, графики размера банкролла как функции от винрейта для PLO аналогичны графикам NLHE. Достаточно взять график для NLHE и для любого значения винрейта увеличить вдвое значение банкролла.

Мы видим, что не стоит играть все время в PLO на средних лимитах с умеренным винрейтом (скажем, в 3 bb/100) при малом риске разорения, если у вас нет банкролла в 200 бай-инов (не следует забывать, что для кэшаутов мы должны скорректировать винрейт).

5. Заключение

В данной статье мы получили оценки дисперсии (выраженной через среднеквадратическое отклонение) для NLHE 6-max и PLO 6-max при тайтово-агрессивном стиле игры. Мы получили следующие значения:

• Среднеквадратическое отклонение для NLHE: 81 bb/100
• Среднеквадратическое отклонение для PLO: 114 bb/100

Мы установили, что среднеквадратическое отклонение в PLO на 41% больше, чем в NLHE. В соответствие с формулой риска разорения можем сделать вывод, что при неизменных винрейте и толерантности к риску размер необходимого банкролла удваивается.

Мы привели графики зависимости размера банкролла от винрейта для обеих игр при одном и том же значении среднеквадратического отклонения и при трех уровнях риска разорения 10%, 1% и 0.1%. Мы сделали вывод, что при умеренном винрейте при низкой толерантности к риску (что типично для игроков средних лимитов, проводящих целый день за игрой) необходим большой банкролл размером минимум 100 бай-инов.

Мы увидели, что агрессивный банкролл-менеджмент хорошо подходит для игрока низких лимитов, имеющего хороший винрейт. Применение в данном случае схемы банкролл-менеджмента для профессиональной игры будет лишь потерей времени (и, возможно, мотивации). Это подтверждает целесообразность применения стратегий агрессивного банкролл-менеджмента некоторыми хорошо известными игроками.

Удачи!

Багз.

Перевод: Сергей 'ivolga' специально для pokeristby