Математическое ожидание в покере Часть 2: Фолд эквити

В статье Основы покерной математики мы подробно рассказали вам о простом способе вычисления математического ожидания, или как его чаще обозначают EV (от англ. Expected Value - математическое ожидание). Но мы рассмотрели только тот случай, в котором нам требовалось сделать колл в ответ на олл-ин оппонента. Сегодня же мы остановимся на ситуации, когда мы делаем ставку.

Фолд эквити в покере

Когда мы сталкиваемся с ситуацией, когда нам необходимо заколлировать олл-ин от оппонента, нас, по сути, интересуют только шансы банка. Но как только в роли оппонента выступаете вы сами (т.е. когда мы делаем ставку и ожидаем ответа от оппонента), нам нужно принимать во внимание еще и фолд-эквити.

Фолд эквити в покере - это что-то вроде дополнительного эквити (шансов на победу), которое представляют собой вероятность того, что наш оппонент может скинуть свои карты.

Время от времени мы будем оказываться в ситуациях, когда выиграть раздачу на вскрытии с нашей рукой мы не сможем ни при каких обстоятельствах (ну или крайне редко), поэтому единственным, на что мы сможем положиться, будет фолд-эквити. Такие споты можно назвать чистым блефом.

Давайте рассмотрим пример:

Вы находитесь в позиции на своего оппонента. По риверу вы смогли собрать только шестерку хай. В банке находится $100. Вы блефуете ставкой $60. Вы предполагаете, что ваш оппонент сбросит карты в 50% случаев. Каково EV этого блефа? Попробуйте посчитать сами и сравните ваш результат с ответом ниже.

Разница между примером из первой статьи и этим примером будет только в том, что для вычисления P(выигрыш) и P(проигрыш) нам понадобятся не шансы банка, а фолд эквити. Получается, что мы можем выиграть раздачу лишь в том случае, когда оппонент отправляет карты в пас. Если наш оппонент выбросит свои карты в ответ на нашу ставку в 50% случаев, то P(выигрыш) будет равен 50% или 0,5. P(проигрыш) будет тоже 50%, т.к. 100%-50%=50% или 0,5. Т.е. шансы победить или проиграть, в нашем случае одинаковы. Размер нашего возможного выигрыша очевиден - $100. Размер возможного проигрыша тоже вполне очевиден, он равен размеру нашей блефовой ставки (в нашем случае это $60).

Вставим все значения в формулу расчета EV:

(0,5 x $100) – (0,5 x $60) = $50 - $30 = $20

Получается, что ожидаемая выгода этого блефа составляет $20. Т.е. если мы постоянно будем блефовать в таких ситуациях, то в среднем будем выигрывать в таких ситуациях у оппонента $20.

Вычисление точки безубыточности

Давайте рассмотрим эту же ситуацию, только с другой точки зрения. Очень важно уметь вычислить то, что называется точкой безубыточности блефа. Вместо того, чтобы вычислять EV блефа, нам нужно вычислить как часто блеф в покере должен быть успешен, чтобы мы не теряли денег.

Итак, мы опять в позиции с шестеркой хай. В банке $100 на ривере. Наша ставка равна $60. Какова точка безубыточности этого блефа? (Или другими словами, как часто наш оппонент должен отправлять карты в пас, чтобы EV блефа было нулевым?)

Для вычисления точки безубыточности мы можем использовать формулу вычисления EV, если за конечный результат возьмем $0. Мы обязательно сделаем так, но сначала мы покажем вам более простой способ.

Как часто блеф в покере должен "срабатывать"

Отношение вашей ставки к общему размеру банку после вашей ставки будет равно тому, в скольких процентах случаев наш оппонент должен сбросить свои карты, чтобы EV блефа было равно $0.

Но как же эта информация может помочь в решении нашего вопроса?

Какой процент от общего банка мы инвестируем в нашу блефовую ставку? После того, как наши $60 отправятся в центр стола, общий банк будет составлять $160. Мы можем представить это в виде обычной дроби 60/160. Надеюсь, что вы уяснили из первой статьи как обычную дробь перевести в проценты, потому именно сейчас мы и займемся этим. Итак, 60/160 = 0,375 = 37,5%.

Таким образом точка безубыточности блефа из нашего примера составит 37,5%.

Если наш оппонент будет сбрасывать свои карты чаще, чем в 37.5% случаев, то EV нашего блефа будет положительным, т.е. наш блеф будет приносить прибыль.

Если же оппонент будет сбрасывать карты реже, то такой блеф не принесет нам выгоды в долгосрочной перспективе.

Чем больше фишек мы вкладываем в наш блеф, тем чаще наш оппонент должен сбрасывать свои карты, чтобы мы имели прибыль.

Теперь давайте рассмотрим, как можно использовать формулу расчета EV для вычисления точки безубыточности. Если хотите, можете пропустить этот шаг, т.к. результат наших вычислений уже известен. Мы просто хотим показать вам иной способ хотябы потому, что вычисление точки безубыточности с помощью формулы EV достаточно интересное занятие. И каким бы сложным не было вычисление EV, за основу мы будем брать одну и ту же формулу.

Для обозначения вероятности того, что наш соперник сбросит карты, мы возьмем символ X. Нам нужно узнать при каком X наше EV будет равно $0.

(X x $100) - ((1 - X) x $60) = $0 (P(проигрыш) всегда равно 1 - P(выигрыш) при выражении в виде десятичной дроби)

$100X - ($60 - $60X) = $0 (Упрощаем скобки)

$100X - $60 + $60X = $0 (Опускаем скобки. Два знака - превращаются в знак +)

$160X = $60 (Собираем похожие значения по разные части от знака =)

X = $60 / $160 (Делим обе части на $160)

X = 0,375

Несколько оппонентов

Теперь давайте посмотрим на следующую задачку и постарайтесь найти на нее ответ.

Дело опять происходит на ривере. Вы находитесь в позиции с шестеркой хай. В банке $200. Вы делаете блеф размером $110. Кроме вас в раздаче находятся еще два игрока. Какова точка безубыточности этого блефа?

Да, это не самый сложный вопрос. 110 / 310 = 0,355.

Чтобы блеф был выгодным для нас, оппоненты должны сбрасывать свои карты чаще, чем в 35,5% случаев.

Вы предполагаете, что один оппонент сбросит карты в 80% случаев, а другой  - в 50%. Каково EV такого блефа?

Разница между первым и вторым примером заключается в том, что теперь нам противостоят два игрока, и нужно учитывать насколько часто сбросит карты каждый из них. И чтобы получить ответ на наш вопрос, нам нужно знать одно из правил теории вероятности.

Простыми словами - чтобы найти вероятность двух событий, которые случатся одно за другим, следует умножить вероятность одного события на вероятность второго события. Чтобы произвести данное вычисление, нужно представить значения в виде десятичных дробей. Мы хотим узнать вероятность того, что игроки один за другим отправят свои карты в пас. Перемножаем вероятности двух событий:

0,8 x 0,5 = 0,4 = 40%.

Мы уже спокойно можем утверждать, что этот блеф будет выгоден для нас. Оба игрока сбросят свои карты в 40% случаев, в то время как нас устроил бы вариант сброса карт в 35,5% случаев.

Теперь же посчитаем точное математическое ожидание (EV) нашего блефа:

(0,4 x $200) - (0,6 x $110) = $80 - $66 = $14.

Вычисление вероятности двух последовательных событий может быть крайне полезно. Например, каковы шансы получить два раза подряд карманных тузов? Вероятность получить ракет приблизительно равна 0,45%.

А теперь давайте посчитаем, какова вероятность, что это случится дважды:

0,0045 x 0,0045 = 0,00002025 = 0,002% или 1/50000.

Но мы рассмотрели пример всего лишь двух событий. А какова вероятность проиграть 5 коинфлипов к ряду?

0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = (0,5)^5 = 0,031 = 3,1%.

Ожидаемое фолд эквити

Конечно, очень удобно использовать значение, которое показывает, насколько часто оппонент сбрасывает свои карты. Но откуда нам знать, какова точная вероятность того, что соперник действительно сбросит свои карты? Ответ простой - ниоткуда. Все, что мы можем - это делать предположения, основываясь на:

• Тенденциях оппонента
• Диапазоне оппонента
• Нашем диапазоне
• Нашем размере ставок

Именно поэтому программы вроде Flopzilla или CardRunners EV не могут точно посчитать EV. Они не могут делать предположения о диапазоне нашего соперника и о том, насколько часто он сбросит карты на ставки различного размера. Все, что могут сделать эти программы - это вычислить олл-ин EV. Это, кстати, то, чем мы занимались в первой части статьи, когда решили ответить на олл-ин соперника, имея конкретное эквити.

Но вот когда дело касается математического ожидания блефа в покере, то нам потребуется предположение о фолд-эквити. Это значит, что наше вычисление EV будет всецело основанно на правильности нашего предположения касательно фолд-эквити. Поэтому крайне важно научиться правильно оценивать фолд-эквити. Этот скилл поможет вам удачно «проворачивать» удачные блефы против своих оппонентов.

В первой части мы вычисляли EV, отталкиваясь от шансов банка. Во второй части мы вычисляли EV, отталкиваясь от фолд-эквити. Но что будет, если в одной раздаче нам придется сразу отталкиваться и от шансов банка, и от фолд-эквити? Этот прием более известен под названием «полублеф» и будет рассмотрен в третьей части статьи, посвященной «Математическому ожиданию в покере».