Математическое ожидание в покере Часть 4: предполагаемые шансы

В предыдущих статьях серии "Математическое ожидание в покере" мы разобрались с двумя случаями вычисления EV. В первой части - Математическое ожидание в покере Часть 1: Основы покерной математики - мы вычисляли EV колла олл-ина, для чего мы использовали шансы банка. Во второй части - Математическое ожидание в покере Часть 2: Фолд эквити - мы проводили вычисления в ситуациях, когда мы блефовали, принимая в расчет фолд-эквити.

Мы почти полностью разобрались с расчетом Математического ожидания. Однако в Части 3, посвященной полублефам (Математическое ожидание в покере Часть 3: Полублеф), мы отметили, что не уделили должного внимания одному ограничению.

При расчете математического ожидания колла мы рассматривали лишь случай ставки олл-ин. При таком сценарии мы можем рассчитать наше математическое ожидание со 100%-ой точностью. Если размер ставки не олл-ин, все усложняется. В этом случае мы должны учесть происходящее на последующих улицах и сделать соответствующие корректировки.

В данной статье делается допущение, что читатель знаком с предполагаемыми оддсами и пот-оддсами. В этой статье основное внимание уделяется не обсуждению концепции предполагаемых оддсов, а исследованию их влияния на расчет величины математического ожидания.

На флопе в банке $50, эффективные стеки составляют $200. У вас флаш-дро с 36% эквити против диапазона рук оппонента. Противник ставит размером в банк - $50. Какое математическое ожидание будет иметь колл?

Несложно поставить в нашу формулу для расчета математического ожидания соответствующие значения. Читатели с хорошим пониманием пот-оддсов сразу увидят, что мы имеем 2:1 для колла и, следовательно, на 3% больше эквити, чем нам требуется (для колла). Если у нас действительно есть 36% эквити, то такой колл будет прибыльным.

Проблема заключается в том, что после нашего колла в банке будет $150, что в точности соответствует оставшемуся стеку оппонента. И на терне он легко сделает ставку размером в банк, которую мы не сможем заколлировать. Для колла мы будем иметь 2:1 при реальном эквити в 18%, что невыгодно. Однако проблема связана не со ставкой на терне, а с тем, что уже на флопе мы не учли, что может произойти на более поздних улицах.

Предположим, что оппонент ставит олл-ин на терне со 100%-ой частотой. Будет совершенно неправильным полагать, что в этом случае у нас будет 35% эквити. При непопадании в карту терна нам придется сбросить свою руку. Таким образом, у нас только 18% эквити. При таком значении эквити колл с нашей стороны оказывается невыгодным.

И это еще не все. Если мы коллируем, а оппонент гарантированно ставит олл-ин на терне, мы получаем значительно больше тех $100, что находятся в банке после ставки оппонента на флопе. Если оппонент выставляется на терне с размером ставки, равной поту, то это означает, что мы инвестировали $50 и выиграли $250. С учетом предполагаемых оддсов мы фактически имеем для колла 5:1. Нам требовалось для колла 16.667% эквити, а у нас было 18%.

Учет факторов на последующих улицах

Ключевым моментом для расчета математического ожидания является учет различных факторов, связанных с игрой на последующих улицах. Под факторами мы будем понимать особенности оппонента и специфику розыгрыша руки.

1) Как часто оппонент баррелит на последующих улицах?

Как мы уже говорили, наш оппонент баррелит терн со 100%-ой частотой. Почему это так важно? Если игрок ставит на терне продолженную ставку реже, мы получим больше эквити. Если же оппонент никогда не баррелит терн, мы можем рассчитывать на эквити в размере пота. Если наш оппонент баррелит терн с 60%-ой частотой, мы пропорционально дисконтируем наше эквити.

Запишем выражение для расчета эквити для терна (36% для обеих улиц делим пополам) с учетом заданной частоты баррелинга терна

Полное Эквити - (Половина эквити * Частота баррелинга на терне)

0.36 - (0.18 * 0.6)

0.36 - 0.108 = .252 или 25.2% эквити с учетом имплайдов.

2) Сколько мы заработаем на последующих улицах при ставке оппонента?

В нашем упрощенном примере мы рассмотрели случай, когда оппонент идет олл-ин, делая ставку на терне размером в пот со 100%-ой частотой. Однако, наш оппонент не всегда поставит все свои оставшиеся деньги на терне. Типичным случаем является игра в глубоких стеках.

Пусть его оставшийся стек составляет $1000, и вы думаете, что со вторым натсом он сможет инвестировать в банк $350. На практике эту величину можно оценить только в среднем, поскольку размер ставки оппонента зависит от силы его руки. Итак, если при нашем попадании во флаш у оппонента оставшийся стек был равен $1000, можно рассмотреть следующие возможные схемы

• в 40% случаев оппонент ставит $0 (играет чек/фолд)
• в 30% случаев оппонент ставит $200
• в 15% случаев оппонент ставит $300
• в 10% случаев оппонент ставит $450
• в 5% of случаев оппонент ставит $1000

Самым важным при использовании предполагаемых оддсов при расчете математического ожидания является оценка усредненной величины вклада оппонента в банк на последующих улицах. С учетом рассмотренных выше 5 ситуаций можем записать выражение для средневзвешенной оценки (расчет усредненных величин был рассмотрен в Части 3).

Средневзвешенное значение инвестиций оппонента в банк на терне определяется в виде

(40 x $0) + (30 x $200) + (15 x $300) + (10 x $450) + (5 x $1000) = $200

$200 представляет собой усредненную величину инвестиций оппонента на терне для рассматриваемого случая. При максимально возможном значении $1000 для расчета имплайдов мы можем использовать лишь $200.

3) Как часто наш оппонент сфолдит на следующей улице?

Как правило, этот фактор относится не к потенциальным оддсам, а к отдельной категории - Фолд-Эквити. Однако, это можно рассматривать как отдельный аспект потенциальных оддсов.

В нашем примере с флаш-дро допустим, что оппонент баррелит на терне с частотой 50%. В 50% он не делает ставку, а играет чек/фолд. Если при непопадании в дро мы будем чекать, то мы технически не сможем сыграть колл на флопе. У нас просто не будет достаточных предполагаемых оддсов вследствие того, что оппонент недостаточно часто баррелит на терне при нашем попадании в дро.

Использование тенденций оппонента в плане игры чек/фолдом на терне, мы можем получить дополнительные $150 в 50% случаев на терне. Дополнительное эквити, обусловленное возможностью забрать банк, компенсирует недостаток имплайдов на флопе. Хотя концепции фолд-эквити и потенциальных оддсов разные, они уравновешивают друг друга и вместе являются дополнением к нашему (потенциальному) эквити.

Соединяем все вместе

Продолжим рассмотрение примера из Раздела 3, однако подставим в него другие значения. Попробуйте сначала сами, и не беспокойтесь по поводу сложности расчетов - они не сложнее, чем при расчете математического ожидания.

Банк на флопе составляет $50. Эффективные стеки по $200. У нас флаш-дро с 36% эквити против диапазона рук оппонента. Противник делает ставку $50 размером в пот. На терне мы ожидаем, что оппонент ставит олл-ин остатки своего стека в 50% случаев. При непопадании в карту терна мы фолдим. В оставшихся 50% случаев оппонент чекает и падает на любую нашу ставку. Чему равно математическое ожидание колла на флопе?

Наши расчеты математического ожидания могут оказаться достаточно сложными. На практике игра оппонента на терне может быть более разнообразной. Иногда он может сыграть чек/колл, иногда может поставить ставку, оставив еще что-то в своем стеке. Возможно, в одном случае из семи оппонент может поставить олл-ин на терне со 100%-ой частотой. Это может быть обусловлено тем, что этот вечер запланирован для хорошей выпивки. А, может быть, его жена в данный момент в гневе бросает в него что-то тяжелое. Вариантов много. Однако нам надо получить оценку математического ожидания, которое, как мы поняли, не может быть рассчитано точно.

Давайте разделим нашу проблему на составляющие. Как уже было отмечено выше, поскольку мы собираемся фолдить на терне на ставку оппонента, наше фактическое эквити составляет 18%, а не 36%. Однако нам следует учесть предполагаемые оддсы. При попадании в карту терна, которая даст нам готовый флаш, в 50% случаев мы получим от противника дополнительно $150. Можем сказать, что в среднем мы ожидаем $75 при попадании в терн. Таким образом, мы коллируем ставку $50 для того, чтобы выиграть $150. Запишем выражение для расчета математического ожидания для колла.

(0.18 x $175) - (0.82 x $50) = ($31.5) - ( $41 ) = $-9.5

Видим, что нам не хватает предполагаемых оддсов для колла. Причина в том, что противник на терне инвестирует в пот недостаточную сумму.

Однако, в случае нашего непопадания в карту терна, в 50% случаев оппонент чекает, разрешая нам на блефе забрать банк размером в $150. Таким образом, математическое ожидание в случае непопадания в карту терна составляет $75. Это очевидно и без расчетов.

(0.5 x $150) - (0.0 x $0) = $75

К сожалению, мы не можем просто добавить эти $75 к нашему математическому ожиданию колла на флопе. Все дело в весовых коэффициентах. Мы не можем сказать «мы не попали в терн», потому что мы не попадаем в карту терна лишь в 82% случаев. И в этих 82% случаев мы теряем не $50, поскольку на терне мы заработаем $75. Всякий раз, когда мы «теряем» (82% случаев), мы на самом деле зарабатываем (-50 + 75) = $25. Выражение для математического ожидания можно записать в следующем виде.

(0.18 x $175) + (0.82 x $25)

31.5 + 20.5 =$52

Заметим, что вместо расчета среднего выигрыша на терне мы разделили ситуацию на два этапа. В 41% случаев (50% из 82%) мы зарабатываем всего $100 (при этом мы не включаем в выигрыш $50 от колла на флопе). А в 41% случаев мы теряем $50 от колла на флопе.

(0.18 x $175) + (0.41 x $100) - (0.41 x $50) = $52

Заметим, что мы могли бы упростить наши расчеты, применив логические блок-схемы. Это несколько удлинило бы наши рассуждения по сравнению с путем логического мышления, однако оказалось бы много более простым для понимания. Кроме того, в этом случае, мы бы вряд ли допустили ошибку в логике.

(0.09 x $250) + (0.09 x $100) + (0.41 x $100) - (0.41 x $50)

$22.5 + $9 + $41 - $20.5 = $52

На самом деле, этот расчет лишь на один шаг сложнее по сравнению с расчетом из последней статьи. Сейчас в формуле мы видим 4 составляющих против 3 в формуле предыдущей статьи. Однако число таких составляющих могло бы вырасти, если бы мы начали учитывать возможные варианты игры на терне. Например, вместо простого фолда оппонент мог сыграть чек/колл. В этом случае пришлось бы ввести коэффициент на размер ставки оппонента на терне как части от всего оставшегося стека.

Также следует ввести коэффициент для корректировки нашего эквити на терне, поскольку блеф на терне может не пройти, и мы окажемся на ривере. На ривере можно рассмотреть аналогичный терну сценарий развития событий. В этом случае уже было бы полезно нарисовать для удобства логическую блок-схему. Допустим, оппонент фолдит на терне после чека в 70% случаев, а мы ставим олл-ин $150. Если он заколлирует, мы получаем эквити в размере 18%.

Но это уже относится к области сложных вычислений. В Части 5 мы рассмотрим различные способы измерения математического ожидания и обсудим их актуальность для наших расчетов.