Математическое ожидание в покере Часть 3: Полублеф

В предыдущих статьях серии "Математическое ожидание в покере" мы разобрались с двумя случаями вычисления EV. В первой части - Математическое ожидание в покере Часть 1: Основы покерной математики - мы вычисляли EV колла олл-ина, для чего мы использовали шансы банка. Во второй части - Математическое ожидание в покере Часть 2: Фолд эквити - мы проводили вычисления в ситуациях, когда мы блефовали, принимая в расчет фолд-эквити.

До сих пор в наших вычислениях мы использовали один из двух типов вероятностей. Но в покере случается огромное количество раздач, когда для расчета EV нужно использовать оба случая.

Одним из примеров является полублеф - случай, когда мы ставим с расчетом забрать банк без вскрытия, но при этом знаем, что если наша ставка будет заколлирована, мы будем иметь определенное пот-эквити.

Как нужно использовать шансы банка и фолд-эквити в одной формуле?

Сразу начнем с примера.

На терне сформировался банк в размере $100. Мы идем олл-ин на все оставшиеся деньги - $80. У нас на руках флеш-дро и наше пот-эквити в случае, если оппонент заколлирует ставку, составляет порядка 20%. Но мы также ожидаем, что в 35% случаев наш оппонент сбросит свои карты. Каково математического ожидание (EV) нашего полублефа?

Давайте будем решать эту задачу.

Наиболее простым способом решения этой задачи будет разбить ее на несколько частей. Мы можем использовать блок-схему (и не волнуйтесь, если вы пока ничего не понимаете).

Используя следующую схему, мы увидим, что возможны 3 исхода нашего сценария (запомните эти цифры, т.к. мы будем использовать их далее по тексту).

• 1 - Мы ставим олл-ин, и соперник сбрасывает карты.
• 2 - Мы ставим олл-ин, соперник делает колл, мы выигрываем.
• 3 - Мы ставим олл-ин, соперник делает колл, мы проигрываем.

Также мы можем посчитать, как часто случится каждый из представленных выше исходов. Надеемся, вы запомнили правило из второй части для вычисления вероятности нескольких событий. Мы просто перемножаем вероятности, предварительно переведя их в формат десятичной дроби.

Итак, для того чтобы сбылся третий сценарий, нам нужно чтобы оппонент сделал колл - это произойдет в 65% случаев. Затем, его рука должна оказаться сильнее нашей - что произойдет в 80% случаев. Вероятность исхода события №3 равна:

0,65 x 0,8 = 0,52 или 52%

Вероятность исхода события №2 равна:

0,65 x 0,2 = 0,13 или 13%

Давайте еще раз напомним себе основную формулу расчета EV. Даже самые сложные математические расчеты будут иметь в основе одну и ту же формулу:

(P(выигрыш) x Потенциальный выигрыш) - (P(проигрыш) x Потенциальный проигрыш) = EV

Разница вполне очевидна и она заключается в том, что когда мы используем полублеф, выиграть раздачу мы можем двумя различными способами. Мы можем видоизменить формулу, добавив в нее несколько скобок, которые будут соответствовать различным сценариям. Давайте добавим числа 1,2,3 для большей очевидности, чтобы вы не забывали и видели, что есть три возможных исхода.

(P(выигрыш1) x Потенциальный выигрыш1) + (P(выигрыш2) x Потенциальный выигрыш2) - (P(проигрыш3) x Потенциальный проигрыш3) = EV.

Цифры означают один из возможных исходов нашего сценария (см. выше по тексту).

Подстановка значений в формулу

Итак, теперь мы знаем необходимую нам формулу. Давайте выясним и подставим туда нужные нам значения. Не забывайте, что нам надо использовать вероятности каждого исхода для вычисления EV нашей раздачи. (Впрочем, мы возьмем все нужные нам числа из блок-схемы).

P(выигрыш1) = 0,35
Потенциальный выигрыш1 = $100 (Количество денег в банке)
P(выигрыш2) = 0,13
Потенциальный выигрыш2 = $180 ($100 из банка + колл оппонента в размере $80)
P(проигрыш3) = 0.52
Потенциальный проигрыш3 = $80 (Количество денег, вложенных в наш полублеф)
EV = (0,35 x $100) + (0,13 x $180) - (0,52 x $80) = $16,8

Видоизменение EV формулы

Давайте поговорим немного о корректировках в формуле вычисления EV. Для чего нам были нужны лишние скобки? И как можно узнать, нужно прибавлять или вычитать эти дополнительные скобки?

Дополнительные скобки

• На самом деле, чтобы вычислить EV этой раздачи, нам НЕ НУЖНЫ дополнительные скобки в формуле - мы можем использовать одни скобки для вычисления (P(выигрыш) x Потенциальный выигрыш) как мы делали до этого. Но мы сталкиваемся с проблемой, когда пытаемся вычислить значение Потенциального выигрыша. В первом случае мы выигрываем $100, а во втором - $180. Так какое же из этих двух значений нам нужно использовать?
• Ответ прост - никакое. Для нахождения значения Потенциального выигрыша, мы можем использовать только среднеарифметическое этих двух значений. Если вы не уверены в том, как нужно вычислять среднеарифметическое значение, перейдите к разделу “Вычисление средних значений” в конце этой статьи. Эти знания будут также необходимы для понимания нашей следующей статьи из серии “Математическое ожидание в покере”.
• Мы выиграем $100 в 35% случаев и выиграем $180 в 13% случаев. Но мы не можем просто взять среднеарифметическое значение $100 и $180, потому что они будут случаться с разной вероятностью. Нам нужно взять средневзвешенное значение. Мы выиграем в 48 случаях из 100. В 35 случаях мы выиграем $100, а в 13 - $180.

Если мы сложим серию из этих 48 случаев и разделим на 48, то получим:

(35 x $100) + (13 x $180) / 48 = 121,66666667

48%

Число 121,66666667 будет означать, сколько денег в среднем мы выиграем. Мы можем использовать это число для обозначения нашего Потенциального выигрыша. P(выигрыш) находится очень просто. Мы складываем две вероятности выигрыша:

35 + 13 = 48.

ЗАМЕЧАНИЕ - если нам нужно узнать какова вероятность того, что одно событие случится следом за другим - то мы должны перемножить две вероятности. Если же нам нужно узнать вероятность того, что случится либо одно, либо другое событие - тогда нам нужно сложить две этих вероятности.

Теперь если мы подставим наши новые значения для P(выигрыш) и Потенциальный выигрыш, мы получим следующее выражение:

(0,48 x $121,6666667) - (0,52 x $80) = $58,4 - $41,6 = $16,8

Это говорит нам о двух важных вещах:

Дополнительные скобки использовать совсем не обязательно.

Но дополнительные скобки упрощают наши вычисления. (Особенно это касается тех случаев, когда возможных исходов больше чем 3).

Складывать или вычитать?

Если мы собираемся добавить в нашу формулу дополнительные скобки, то, как узнать, когда нам следует их складывать, а когда отнимать? Все довольно просто и очевидно. Если мы имеем исходы, в которых выигрываем - тогда следует складывать скобки. А если мы имеем исходы с проигрышем - тогда следует их отнимать.

Можно, конечно, просто складывать все скобки, но тогда придется представлять исходы с проигрышем в виде отрицательных чисел. Сложение отрицательных чисел ничем не отличается от вычитания. Но важно помнить, что все скобки должны быть формата (P(выигрыш/проигрыш) x Потенциальный выигрыш/проигрыш).

Второй пример

Давайте рассмотрим пару похожих примеров, которые вы можете постараться решить самостоятельно. Ответы на них вы найдете ниже.

На терну в банке находится 100ББ. Соперник идет олл-ин на 80ББ. Мы делаем чек/колл, имея 20% на выигрыш. Каково наше EV?

На этот раз уже мы идем олл-ин на 80ББ в банк 100ББ. Оппонент сбрасывает карты в 50% случаев, но если он делает колл, то имеет 80% на выигрыш. Каково наше EV?

Ответы

Вопрос №1. (0,2 x 180ББ) - (0,8 x 80ББ) = 36 - 64 = -28 (В среднем мы будем проигрывать 28ББ, делая такие коллы).

Вопрос №2. Возможны три исхода событий. Соперник сбросит карты в 50% случаев, в 40% случаев он сделает колл и выиграет, а в 10% случаев - сделает колл и проиграет.

(0,5 x 100ББ) + (0,1 x 180ББ) - (0,4 x 80ББ) = 50 + 18 - 32 = 36.

В этом примере мы можем видеть всю силу фолд-эквити. Склонившись в сторону агрессии на терне, мы сделали ситуацию довольно выгодной для себя.

Другой способ

Если вы достаточно сообразительны, то могли увидеть, что ответ, полученный в ходе решения первой задачи, можно было использовать для получения ответа на вторую из них.

EV первого исхода было равно -28ББ, а случалось это в 50% случаев. В других 50% случаев, когда соперник делал фолд, мы получали 100ББ.

Следовательно:

(0,5 x 100ББ) + (0,5 x (-28ББ)) = 50 + (-14) = 36ББ.

Вы можете найти этот способ более простым в использовании. В данном случае вы используете одни скобки для выражения фолд-эквити и одни - для выражения ваших шансов банка, вместо того, чтобы выражать вероятности проигрыша и выигрыша. Помните, что нужно считать все последовательно - если проход до шоудана происходит в 40% случаев (в общем!), то тогда следует умножать на 0,4.

Если вы проанализируете формулу вычисления EV, то увидите, что она может быть записана в следующем виде: EV = P(выигрыш) x Потенциальный выигрыш (где под Потенциальным выигрышем имеется в виду совокупность Потенциального проигрыша и Потенциального выигрыша). Вторые скобки, которые мы добавили в нашу стандартную формулу вычисления EV, вовсе необязательны, но делают всю формулу более восприимчивой к пониманию и простой к использованию. Точно также дополнительные скобки упрощают сложные вычисления EV.

Потенциальные шансы

Вы, возможно, заметили, что до сих пор мы имели дело только с ситуациями, которые касаются олл-инов. В чем же дело, спросите вы? А дело в том, что если в игре все еще остаются стеки игроков и мы делаем колл, то это абсолютно меняет ожидание нашего колла. Об этом мы подробнее поговорим в следующей статье цикла “Математическое ожидание в покере”.

Вычисление средних значений

• В математике существует несколько видов “средних” значений - к примеру, среднеарифметическое, средневзвешенное и т.п. Нас в первую очередь интересуют среднеарифметические значения.
• Среднеарифметическое значение вычисляется путем сложения всех чисел вместе и деления их на общее количество.
• Среднеарифметическое значение = Сумма всех чисел / Количество чисел.

Давайте вместе посчитаем среднеарифметическое значение следующих чисел: 2,10,16,21,31.

Сумма всех чисел равна:

2 + 10 + 16 + 21 + 31 = 80

Всего мы имеем пять чисел, поэтому делим 80 на 5:

80 / 5 = 16

Среднеарифметическое значение нашего ряда чисел равно 16.